a) Ta có BD = CE và AB = AC nên tam giác BDE và CDE là tam giác cân. Do đó, các góc BDE và CDE bằng nhau. Từ đó, ta có DE song song với BC.

b) Ta có BD = CE và tam giác BDE và CDE là tam giác cân. Do đó, các góc BDE và CDE bằng nhau. Khi đó, ta có góc BDM = góc CEM (do DE song song với BC), góc BMD = góc CME (do BD = CE) và góc BDM = góc CEM (do tam giác BDE và CDE là tam giác cân). Từ đó, ta có tam giác BDM và CEM là hai tam giác đồng dạng. Do đó, DM = EM.

c) Ta có DM = EM (chứng minh ở bước b). Ta cũng có góc BDM = góc CEM (do DE song song với BC) và góc BMD = góc CME (do BD = CE). Từ đó, ta có tam giác BDM và CEM là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có góc BMD = góc CME. Nhưng góc BMD = góc CME = góc BAC (do BD = CE và tam giác BDE và CDE là tam giác cân). Vậy, ta có góc BAC = góc BMD = góc CME. Từ đó, ta có tam giác AMN là tam giác cân.

d) Gọi I là giao điểm của đường vuông góc với AM và AN tại B và C. Ta cần chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.

Ta có góc BDM = góc CEM (do DE song song với BC) và góc BMD = góc CME (do BD = CE). Từ đó, ta có tam giác BDM và CEM là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có góc BMD = góc CME. Nhưng góc BMD = góc CME = góc BAC (do BD = CE và tam giác BDE và CDE là tam giác cân). Vậy, ta có góc BAC = góc BMD = góc CME.

Từ đó, ta có góc BAC = góc BMD = góc CME = góc MAN. Vậy, AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.