Để chứng minh tam giác AMD = tam giác BMC, ta cần chứng minh hai tam giác này có cạnh bằng nhau và góc tương ứng bằng nhau.

Vì AB = CD và M là trung điểm của AB và CD, nên ta có AM = MC và DM = MB. (1)

Ta cũng có góc AMD = góc BMC vì chúng là góc ở đỉnh của hai tam giác cân.

Từ (1), ta có thể kết luận rằng tam giác AMD = tam giác BMC.

Để chứng minh MN là đường trung điểm của AB và CD, ta cần chứng minh MN song song với AB và CD và MN bằng một nửa của AB và CD.

Vì M là trung điểm của AB và CD, nên ta có MN song song với AB và CD.

Ta cũng có AM = MC và DM = MB từ (1), nên ta có MN = (AM + DM)/2 = (MC + MB)/2 = MC/2 + MB/2 = AB/2 + CD/2 = (AB + CD)/2.

Vì AB = CD, nên ta có MN = (AB + CD)/2 = AB/2 + AB/2 = AB.

Vậy ta đã chứng minh MN là đường trung điểm của AB và CD.