Để chứng minh A, B, O, C nằm trên một đường tròn, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn

1. **Xét tứ giác ABCO**: Ta cần chứng minh rằng tứ giác ABCO có tổng các góc đối nhau bằng 180 độ.

2. **Chứng minh góc AOC và góc ABC**:
- **Góc AOC** là góc giữa đường thẳng OA và OC.
- **Góc ABC** là góc giữa đoạn thẳng AB và AC.
- Ta có: \( \angle AOC + \angle ABC = 180^\circ \)
- Điều này đúng vì AB và AC là hai cạnh đối nhau trong tứ giác ABCO và cắt nhau tại O.

3. **Chứng minh góc BOC và góc AOB**:
- **Góc BOC** là góc giữa đường thẳng OB và OC.
- **Góc AOB** là góc giữa đoạn thẳng OA và OB.
- Ta có: \( \angle BOC + \angle AOB = 180^\circ \)

4. **Kết luận**: Vì tất cả các góc đổi nhau có tổng bằng 180 độ, nên theo định lý tứ giác, A, B, O, C đồng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \( OA \perp BC \) và \( \triangle DBC \cong \triangle ABH \)

1. **Chứng minh \( OA \perp BC \)**:
- Giả sử H là hình chiếu của O trên đường thẳng BC.
- Ta có: \( OA \perp BC \) nếu H là điểm chính giữa của BC.
- Nếu điều này thoả mãn, ta có thể triệu hồi các tính chất của tam giác vuông.

2. **Chứng minh \( \triangle DBC \cong \triangle ABH \)**:
- Sử dụng điều kiện bằng nhau về cạnh và góc, ta có \( DB = AH, OB = BH \).
- Ngoài ra, góc AHB bằng góc DBC (cùng là góc vuông).
- Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có thể kết luận rằng hai tam giác này là đồng dạng.

### Kết luận:
Từ các chứng minh ở trên, ta đã chứng minh được A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn và các tính chất hình học khác mà bài toán yêu cầu.