Để tìm số tự nhiên n thỏa mãn các điều kiện trên, ta giải hệ phương trình sau:

n + 2 là số nguyên tố
13n + 27 là lập phương của 1 số tự nhiên

Đầu tiên, ta xét điều kiện thứ nhất: n + 2 là số nguyên tố.
Ta thử các giá trị n từ 1 đến 10, ta thấy n = 3 là số nguyên tố.
Vậy n = 3 là một giá trị thỏa mãn điều kiện thứ nhất.

Tiếp theo, ta xét điều kiện thứ hai: 13n + 27 là lập phương của 1 số tự nhiên.
Ta thay n = 3 vào phương trình: 13n + 27 = 13*3 + 27 = 66.
Ta thấy 66 không phải là lập phương của 1 số tự nhiên.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n khác 11 thỏa mãn cả hai điều kiện trên.