Chứng minh: (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 120

Để chứng minh rằng (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho 2, 3, 5 và 8.

1. Chứng minh chia hết cho 2:
Ta biết rằng một số chia hết cho 2 nếu và chỉ nếu số đó là số chẵn. Trong dãy số (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), có ít nhất 3 số liên tiếp là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chắc chắn chia hết cho 2.

2. Chứng minh chia hết cho 3:
Ta biết rằng một số chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Ta xét các trường hợp:
- Nếu n chia hết cho 3, tức là tổng các chữ số của n chia hết cho 3. Khi đó, tổng các chữ số của (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2) cũng chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3.
- Nếu n không chia hết cho 3, ta có thể xét các trường hợp:
+ Nếu n ≡ 1 (mod 3), tức là n = 3k + 1 với k là số nguyên. Khi đó, (n-2) ≡ (3k + 1 - 2) ≡ (3k - 1) (mod 3), (n-1) ≡ (3k + 1 - 1) ≡ (3k) (mod 3), n ≡ (3k + 1) (mod 3), (n+1) ≡ (3k + 1 + 1) ≡ (3k + 2) (mod 3), (n+2) ≡ (3k + 1 + 2) ≡ (3k + 3) ≡ 0 (mod 3). Tổng các chữ số của (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2) chia hết cho 3, vì vậy tích của chúng chia hết cho 3.
+ Tương tự, ta có thể chứng minh cho trường hợp n ≡ 2 (mod 3).

3. Chứng minh chia hết cho 5:
Ta biết rằng một số chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu chữ số cuối cùng của số đó là 0 hoặc 5. Trong dãy số (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), có ít nhất 1 số là chia hết cho 5. Vì vậy, tích của chúng chắc chắn chia hết cho 5.

4. Chứng minh chia hết cho 8:
Ta biết rằng một số chia hết cho 8 nếu và chỉ nếu 3 chữ số cuối cùng của số đó tạo thành một số chia hết cho 8. Ta xét các trường hợp:
- Nếu n chia hết cho 8, tức là 3 chữ số cuối cùng của n tạo thành một số chia hết cho 8. Khi đó, 3 chữ số cuối cùng của (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2) cũng tạo thành một số chia hết cho 8. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 8.
- Nếu n không chia hết cho 8, ta có thể xét các trường hợp:
+ Nếu n ≡ 1 (mod 8), tức là n = 8k + 1 với k là số nguyên. Khi đó, (n-2) ≡ (8k + 1 - 2) ≡ (8k - 1) (mod 8), (n-1) ≡ (8k + 1 - 1) ≡ (8k) (mod 8), n ≡ (8k + 1) (mod 8), (n+1) ≡ (8k + 1 + 1) ≡ (8k + 2) (mod 8), (n+2) ≡ (8k + 1 + 2) ≡ (8k + 3) (mod 8). 3 chữ số cuối cùng của (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2) tạo thành một số chia hết cho 8, vì vậy tích của chúng chia hết cho 8.
+ Tương tự, ta có thể chứng minh cho trường hợp n ≡ 2, 3, 4, 5, 6, 7 (mod 8).

Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 2, 3, 5 và 8, nên nó chia hết cho 2 * 3 * 5 * 8 = 120.