a) Ta có:
$\angle BHI = \angle BKI$ (do là góc phân giác)
$\angle BHI = \angle BIK$ (do là góc vuông)
$\Rightarrow \angle BKI = \angle BIK$
$\Rightarrow \triangle BHI = \triangle BKI$ (do có hai góc bằng nhau và cạnh chung)

b) Ta có:
$\angle AHI = \angle BHI$ (do là góc phân giác)
$\angle AHI = \angle BIK$ (do là góc vuông)
$\Rightarrow \angle AHI = \angle BIK$
$\Rightarrow \triangle AHI$ vuông cân (do có hai góc bằng nhau)

c) Chu vi tam giác ABC là tổng độ dài các cạnh:
$AB = AH + BH$
$AC = AH + CH$
$BC = BH + KC$
Chu vi tam giác ABC là $AB + AC + BC = (AH + BH) + (AH + CH) + (BH + KC) = 2(AH + BH + CH) + KC = 2(AH + BH + CH) + 3$
Ta cần tính độ dài các cạnh AH, BH, CH để tính chu vi tam giác ABC. Từ tam giác vuông AHI, ta có:
$AH^2 + HI^2 = AI^2$
$AH^2 + 1^2 = (2 + HI)^2$
$AH^2 + 1 = 4 + 4HI + HI^2$
$AH^2 - 3 = 4HI + HI^2$
$AH^2 - 3 = (HI + 3)(HI - 1)$
Tương tự, từ tam giác vuông BHI và CHI, ta có:
$BH^2 - 4 = (HI + 3)(HI - 1)$
$CH^2 - 9 = (HI + 3)(HI - 1)$
Do đó, ta cần giải hệ phương trình:
$\begin{cases} AH^2 - 3 = (HI + 3)(HI - 1) \\ BH^2 - 4 = (HI + 3)(HI - 1) \\ CH^2 - 9 = (HI + 3)(HI - 1) \end{cases}$
Sau khi giải hệ phương trình, ta tính được độ dài các cạnh AH, BH, CH. Sau đó, thay vào công thức chu vi tam giác ABC để tính được chu vi của tam giác.