a/ Ta có:
- Vì AH là đường cao nên AH ⊥ BC. Tương tự, CK ⊥ AB.
- Vì AH ⊥ BC và CK ⊥ AB nên AH || CK.
- Vì AH = CK (đường cao cùng dài trong hình bình hành) nên AHCK là hình bình hành.

b/ Ta có:
- Vì AHCK là hình bình hành nên AH = CK.
- Vì AH ⊥ BC nên ∠HAB = ∠HCB (góc vuông cùng chân đường cao).
- Vì CK ⊥ AB nên ∠KAB = ∠KCB (góc vuông cùng chân đường cao).
- Vì AHCK là hình bình hành nên AH || CK nên ∠HAB = ∠KCB.
- Từ các điều trên, ta có ∠HAB = ∠HCB = ∠KAB = ∠KCB.
- Vậy tam giác ABC và tam giác CKM đồng dạng (có cặp góc bằng nhau).
- Do đó, ta có: AN/CM = AB/CK = AB/AH = AN/CM.
- Vậy AN = CM.

c/ Ta có:
- Vì AHCK là hình bình hành nên AH = CK.
- Vì AH ⊥ BC nên AH || BC.
- Vì CK ⊥ AB nên CK || AB.
- Vậy AHCK là hình bình hành có đường chéo HK.
- Vì O là trung điểm HK nên O là trung điểm của đường chéo HK.
- Vậy O là trung điểm của AC.
- Vì M là giao điểm AK và BC nên M là trung điểm của AC.
- Vì N là giao điểm CH và AD nên N là trung điểm của AC.
- Vậy M, O, N thẳng hàng.