a) Để 2^n + 15 là số chính phương, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho 2^n + 15 = m^2, với m là số tự nhiên.

Ta có: 2^n = m^2 - 15.

Để m^2 - 15 là số chính phương, ta cần tìm số tự nhiên m sao cho m^2 - 15 = k^2, với k là số tự nhiên.

Ta có: m^2 - k^2 = 15.

Đây là phương trình Pell-Fermat. Ta có thể giải phương trình này bằng cách thử các giá trị của m cho đến khi tìm được một giá trị thỏa mãn.

Thử m = 4, ta có: 4^2 - k^2 = 15 => k^2 = 1 => k = 1.

Vậy, m = 4 và k = 1 là các giá trị thỏa mãn phương trình.

Tiếp tục thử các giá trị khác của m, ta tìm được m = 4 và k = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn phương trình.

Vậy, để 2^n + 15 là số chính phương, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho n = log2(m^2 - 15) = log2(4^2 - 15) = log2(1) = 0.

Vậy, n = 0 là số tự nhiên thỏa mãn.

b) Để n + 12 và n - 11 là số chính phương, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 = m^2 và n - 11 = k^2, với m và k là số tự nhiên.

Từ phương trình n + 12 = m^2, ta có n = m^2 - 12.

Thay vào phương trình n - 11 = k^2, ta có m^2 - 12 - 11 = k^2 => m^2 - k^2 = 23.

Đây là phương trình Pell-Fermat. Ta có thể giải phương trình này bằng cách thử các giá trị của m cho đến khi tìm được một giá trị thỏa mãn.

Thử m = 5, ta có: 5^2 - k^2 = 23 => k^2 = 2 => k = √2 (không là số tự nhiên).

Thử m = 6, ta có: 6^2 - k^2 = 23 => k^2 = 13 => k = √13 (không là số tự nhiên).

Thử m = 7, ta có: 7^2 - k^2 = 23 => k^2 = 24 => k = √24 (không là số tự nhiên).

Vậy, không có số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện.

c) Để n^2 + n + 6 là số chính phương, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho n^2 + n + 6 = m^2, với m là số tự nhiên.

Đây là phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

Áp dụng công thức nghiệm, ta có: n = (-1 ± √(1 - 4*1*6)) / (2*1) = (-1 ± √(-23)) / 2.

Vì căn bậc hai của một số âm không phải là số thực, nên không có số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện.

Vậy, không có số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện.