Để chứng minh các câu hỏi trong bài toán về tứ giác MCID, ta sẽ tiến hành từng bước theo các yêu cầu đã nêu.

### a) Chứng minh rằng tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp, theo định lý về tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng nhau.

Các điểm M, C, I, D được xác định như sau:
- M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O).
- C và D là hai điểm mà đoạn thẳng MA và MB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D.
- I là giao điểm của các đường thẳng AD và BC.

Để chứng minh tứ giác MCID nội tiếp, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

\[
\angle MCI + \angle MDI = 180^\circ
\]

\[
\angle MDI + \angle MCI = \angle MAO + \angle MBO
\]

Ta có:
- \(\angle MAO\) là góc tại điểm A, có điểm B trên đường tròn (O) và \(\angle MBO\) là góc tại điểm B, có điểm A trên đường tròn (O).
- Theo quy tắc góc nội tiếp và góc ngoài, ta có:

\[
\angle MAO + \angle MBO = \angle AOB
\]

Bởi vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên ta có:
\[
\angle AOB = 180^\circ
\]

Do đó, ta có:

\[
\angle MCI + \angle MDI = 180^\circ
\]

=> Tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp.

### b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I

Để chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn.

- Ta đã chứng minh tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp, từ đó ta có
\[
\angle MCI + \angle MDI = 180^\circ
\]
- Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \(\angle MHI + \angle CIH = \angle BIA + \angle DIC\).

Giả sử:
- I là giao điểm của AD và BC.

Ta sẽ xem xét tam giác ABC và sử dụng tính chất đồng quy của ba đường thẳng.

Theo định lý giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác nội tiếp, ta có thể viết rằng:

\[
\angle DIB + \angle MHI = 180^\circ
\]

Do đó, với việc sử dụng các góc và đặc tính đồng quy, ta chứng minh được rằng ba đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.

### c) Chứng minh rằng tứ giác KCOH là tứ giác nội tiếp

Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID.

Để chứng minh tứ giác KCOH là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng 180º.

Ta cũng sẽ dựa trên các góc nội tiếp:

- \(\angle KCO + \angle KOH\)

Bởi vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp, ta có:

\[
\angle KCO + \angle KOH = \angle KCI + \angle KDI = 180^\circ
\]

Nên ta có:

\[
\angle KCO + \angle KOH + \angle KIC + \angle KHD = 180^\circ
\]

Chứng minh rằng tứ giác KCOH là tứ giác nội tiếp.

Vì vậy, tất cả các yêu cầu đã được chứng minh.

### Kết luận

- Tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp.
- Các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại điểm I.
- Tứ giác KCOH cũng là tứ giác nội tiếp.