a) Tam giác ABC là tam giác vuông tại C vì BC là cạnh huyền và độ dài các cạnh thỏa mãn đẳng thức Pythagoras: AB^2 + AC^2 = BC^2.

b) Ta có:
- Vì AH vuông góc với BC, nên tam giác ABH là tam giác vuông tại H.
- AD là phân giác góc BAH, nên ∠BAD = ∠DAH.
- Vì AE = BD, nên tam giác AED là tam giác cân (do cạnh AD là phân giác góc A trong tam giác ABC).
- Do đó, ta có ∠AED = ∠ADE.
- Vì ∠BAD = ∠DAH và ∠AED = ∠ADE, nên tam giác ADE và tam giác ADH là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).
- Vì hai tam giác đồng dạng, nên ta có tỉ số đồng dạng: AE/AD = AD/AH.
- Từ đó suy ra AE = AH.
- Vì AE = AH và BD = AE, nên ta có AB = DE.

c) Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại C, nên ∠ACB = 90°.
- Vì AD là phân giác góc BAH, nên ∠BAD = ∠DAH.
- Vì ∠ACB = ∠DAH, nên tam giác ADC và tam giác ADB có hai góc tương đương nhau.
- Vì hai tam giác có hai góc tương đương nhau, nên tam giác ADC và tam giác ADB là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có AD/AC = AB/AD.
- Từ đó suy ra AD^2 = AC * AB.
- Vì AB = 3cm và AC = 4cm, nên AD^2 = 3 * 4 = 12.
- Từ đó suy ra AD = √12 = 2√3.
- Vì AD = 2√3 và AM là trung điểm của AD, nên AM = √3.
- Vì AM = √3 và AH = 2√3, nên AM = 1/2 * AH.
- Vì AM = 1/2 * AH, nên M nằm trên đường thẳng AH.
- Vì I là giao điểm của AH và DE, nên C, M, I thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng C, M, I thẳng hàng.