Để tính diện tích hình thang MBCQ, ta cần biết độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang.

Đáy lớn của hình thang MBCQ là đoạn thẳng BC, ta có BC = PQ - QC = 24 cm - (2/3)(24 cm) = 24 cm - 16 cm = 8 cm.

Đáy nhỏ của hình thang MBCQ là đoạn thẳng MN, ta có MN = 24 cm.

Vậy diện tích hình thang MBCQ là (đáy lớn + đáy nhỏ) * chiều cao / 2 = (8 cm + 24 cm) * 12 cm / 2 = 32 cm * 12 cm = 384 cm^2.

Để tính tỉ số BH/HQ, ta cần biết độ dài các đoạn thẳng BH và HQ.

Ta có MB = (1/3)MN = (1/3)(24 cm) = 8 cm.

Vì BQ là đường chéo của hình chữ nhật MNPQ, nên BQ cắt MP tại trung điểm của MP. Vậy BH = (1/2)MP.

Ta có NP = 12 cm, nên MP = NP - MN = 12 cm - 24 cm = -12 cm.

Vì MP là đường chéo của hình chữ nhật MNPQ, nên MP cắt BQ tại trung điểm của BQ. Vậy HQ = (1/2)BQ.

Vậy tỉ số BH/HQ = (1/2)MP / (1/2)BQ = MP / BQ.

Vì BQ là đường chéo của hình chữ nhật MNPQ, nên BQ = √(MN^2 + NP^2) = √(24 cm)^2 + (12 cm)^2 = √576 cm^2 + 144 cm^2 = √720 cm^2 = 24√5 cm.

Vậy tỉ số BH/HQ = MP / BQ = (-12 cm) / (24√5 cm) = -1 / (2√5).

Tổng kết:
- Diện tích hình thang MBCQ là 384 cm^2.
- Tỉ số BH/HQ là -1 / (2√5).