Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là điểm sao cho M là trung điểm của AD

1) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có AM ⊥ BC.

Vì M là trung điểm của AD, nên AM cũng là đường trung tuyến của tam giác ABD. Vậy, ta có AM ⊥ BD.

Từ hai điều trên, ta có AM ⊥ BC và AM ⊥ BD, nên BC ⊥ BD. Vậy, ABCD là hình chữ nhật.

2) Gọi N là điểm nằm giữa B và M. Ta cần chứng minh góc BKC = 90 độ.

Vì M là trung điểm của AD, nên AM = MD. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM ⊥ BC. Do đó, ta có AM ⊥ BD.

Vì N là trung điểm của BM, nên BN = NM. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên BN ⊥ AC.

Từ hai điều trên, ta có AM ⊥ BD và BN ⊥ AC. Vậy, ta có AM ⊥ BD và BN ⊥ AC, nên BD ⊥ AC.

Vì BD ⊥ AC và BN ⊥ AC, nên BD // BN.

Kẻ DH vuông góc với AN. Vì BN // DH và BN ⊥ BD, nên DH ⊥ BD.

Vậy, ta có DH ⊥ BD và BD ⊥ AC, nên DH ⊥ AC.

Từ hai điều trên, ta có DH ⊥ AC và BN ⊥ AC, nên DH // BN.

Vậy, ta có DH // BN và BD // BN, nên DH ⊥ BD.

Vậy, ta có DH ⊥ BD và DH ⊥ BD, nên góc BKC = 90 độ.