Chứng minh (a˄2015 + b˄2015 + c˄2015) - (a˄2013 + b˄2013 + c˄2013) chia hết cho 3 (a thuộc Z)

Để chứng minh biểu thức (a^2015 + b^2015 + c^2015) - (a^2013 + b^2013 + c^2013) chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng định lí Fermat nhỏ:

Định lí Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.

Ta có thể áp dụng định lí Fermat nhỏ cho số nguyên p = 3. Khi đó, a^(3-1) - 1 = a^2 - 1 chia hết cho 3 nếu a không chia hết cho 3.

Giả sử a không chia hết cho 3. Khi đó, a^2 - 1 chia hết cho 3. Tương tự, b^2 - 1 và c^2 - 1 cũng chia hết cho 3.

Vì vậy, ta có:

(a^2015 + b^2015 + c^2015) - (a^2013 + b^2013 + c^2013) = (a^2 - 1)(a^2013) + (b^2 - 1)(b^2013) + (c^2 - 1)(c^2013)

Vì a^2 - 1, b^2 - 1 và c^2 - 1 đều chia hết cho 3, nên (a^2 - 1)(a^2013) + (b^2 - 1)(b^2013) + (c^2 - 1)(c^2013) chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (a^2015 + b^2015 + c^2015) - (a^2013 + b^2013 + c^2013) chia hết cho 3 khi a thuộc Z.