Để chứng minh rằng CH = DK, ta sử dụng tính chất của các hình chiếu vuông góc. Ta biết rằng A và B là hai điểm nằm trên đường kính AB nên CH và DK là các hình chiếu vuông góc của A và B lên dây CD. Từ đó, ta có:

CH = AHcosθ và DK = BKcosθ

Với θ là góc giữa dây CD và đường kính AB. Ta thấy rằng AH = BK vì AH và BK là các bán đường kính cùng nằm trên nửa đường tròn nên có cùng độ dài. Do đó, ta có:

CH = AHcosθ = BKcosθ = DK

Vậy ta đã chứng minh được rằng CH = DK.

Để tìm vị trí của CD để diện tích tứ giác AHKB đạt giá trị lớn nhất (GTLN), ta có thể tìm cực trị của diện tích tứ giác.

Diện tích tứ giác AHKB được tính bằng công thức:

Diện tích AHKB = 0.5 * (AH + BK) * CD

Đặt x = CD/R, ta có: AH = AB - HB = 2R - xR và BK = AB - AK = 2R - (2R - xR) = xR

Vậy diện tích tứ giác AHKB = 0.5 * (2R - xR + xR) * R = R^2

Vì giá trị của diện tích tứ giác AHKB là hằng số R^2, nên để nó đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị của x để CD đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó ta có x = 0.

Vậy vị trí của CD để diện tích tứ giác AHKB đạt GTLN là khi CD = R và chúng ta có diện tích tứ giác này đạt giá trị lớn nhất bằng R^2.