Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DL = LK = KC, ta cần chứng minh hai khẳng định sau:

1. Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì DL = LK = KC.
2. Nếu DL = LK = KC, thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Chứng minh khẳng định 1:
Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành, tức là AB || CD và AD = BC.

Do AB || CD, ta có các góc tương đương:

∠BOM = ∠BCM (góc đồng quy trên cùng với CM)
∠A (góc đồng quy trên cùng với DN)

Do AD = BC, ta có AM = 2MO và BN = 2NO (vì M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

Khi đó, ta có tỷ số đồng quy:

AM/BM = AD/BC = 1 (vì là hình bình hành)

Do đó, AM = BM và MO = ON. 

Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC nên MN || AB.

Vì COLM là tứ giác lồi có hai đường chéo là AO và LM (do MN || AB), nên ta có:

∠OCM = ∠OLM (góc đồng quy trên cùng với LM)

Tương tự, ta có ∠OMD = ∠ONK.

Vì MN || AB, ta có:

∠DLK = ∠DMO = ∠ONC (cùng góc nội tiếp trên cùng với CN)
∠LKD = ∠MDO = ∠OMC (cùng góc nội tiếp trên cùng với CM)

Vậy, ta có ∆DLK ≌ ∆MOC (do có cạnh và hai góc phù hợp bằng nhau), suy ra DL = MC = LK = KC.

Chứng minh khẳng định 2:
Giả sử DL = LK = KC.

Ta có DL = MC = KC, suy ra DL || KC (do hai cạnh đối nhau của hình bình hành bằng nhau và song song).

Do DL = LK, ta có ∠DLK = 180° - ∠LKD.

Tương tự, ta có ∠KLC = 180° - ∠KCL.

Vì DL || KC, ta có:

∠DLK + ∠KLC = ∠LKD + ∠KCL = 180°

Vậy, tứ giác CDLK là tứ giác điều hòa, tức là tứ giác CDLK là hình bình hành.

Tóm lại, tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DL = LK = KC.
Xin chủ tus điểm cao nhất ạ