Cho đường tròn tâm O đường kính BA

Để chứng minh AH.AE = AM.AC, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Gọi I là giao điểm của AH và d. Ta có:

- Tam giác AHB và tam giác AIC đồng dạng (cùng có góc vuông tại A).
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AH/AI = AB/AC (1).

Gọi J là giao điểm của AM và d. Ta có:

- Tam giác AJM và tam giác AIC đồng dạng (cùng có góc vuông tại A).
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AM/AI = AB/AC (2).

Từ (1) và (2), ta có:

AH/AI = AM/AI
⇒ AH = AM (vì AI là cạnh chung của hai tam giác đồng dạng).

Do đó, ta có:

AH.AE = AM.AJ (vì AE và AJ là hai tiếp tuyến của đường tròn tại A).
⇒ AH.AE = AM.AC (vì AJ = AC).

Vậy, ta đã chứng minh được AH.AE = AM.AC.