Cho hình thoi ABCD gọi M N P Q là trung điểm các cạnh AB BC CD

Điều kiện để điểm B và D cùng nằm trên đường tròn đó là tứ giác BMND là tứ giác nội tiếp.

Ta có:
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thoi ABCD.
- Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM và DN.
- Gọi F là giao điểm của đường thẳng DM và BN.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có:
- BM = MD
- BN = ND
- DM = MC
- DN = NC

Vì BMND là tứ giác nội tiếp nên ta có:
- Góc BMD = Góc BND (1)
- Góc DMB = Góc DNB (2)

Ta có:
- Góc BMD = Góc BME + Góc EMD
- Góc BND = Góc BNE + Góc END

Vì BM = MD nên góc BME = góc EMD
Vì BN = ND nên góc BNE = góc END

Do đó, ta có:
- Góc BMD = Góc BME + Góc EMD = Góc BNE + Góc END = Góc BND

Từ (1) và (2), ta suy ra tứ giác BMND là tứ giác nội tiếp.

Vậy, điều kiện để điểm B và D cùng nằm trên đường tròn đó là tứ giác BMND là tứ giác nội tiếp.