a) Ta có MH = MK (theo đề bài), và M là trung điểm BC, nên BM = MC.
Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác ABM vuông tại B.
Tương tự, CF là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác ACM vuông tại C.
Vậy, ta có:
∠ABM = 90° và ∠ACM = 90°
Vì MH = MK, nên tam giác BMK là tam giác cân, suy ra ∠BKM = ∠BMC.
Nhưng ∠BMC = ∠ACM (do BM = MC), nên ∠BKM = ∠ACM.
Vậy, ta có ∠ABM = ∠BKM = ∠ACM.
Do đó, tam giác ABM và tam giác ACM có cạnh chung là cạnh AB và cạnh AC, và có hai góc tương đương nhau, nên chúng là hai tam giác đồng dạng.
Từ đó, ta có AM/AB = AC/AM (theo định lý đồng dạng tam giác), suy ra AM^2 = AB × AC.
Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC = BM/2.
Thay vào biểu thức trên, ta có (BM/2)^2 = AB × AC.
Simplifying, ta được BM^2 = 4AB × AC.
Vậy, BHCK là hình bình hành.

b) Ta đã chứng minh BHCK là hình bình hành ở câu a).
Vì BHCK là hình bình hành, nên BH song song với CK.
Vậy, ta có BH ⊥ AB và CK ⊥ AC.

c) Ta đã chứng minh BHCK là hình bình hành ở câu a).
Vì BHCK là hình bình hành, nên BH = CK và BC = HK.
Vậy, tam giác BHK là tam giác cân.
Tương tự, ta có tam giác CHM cũng là tam giác cân.
Vì M là trung điểm BC, nên BM = MC.
Vậy, tam giác BMC cũng là tam giác cân.
Do đó, tam giác MEF là tam giác cân.

d) Vì CQ vuông góc BK tại Q và EF là đường cao của tam giác MEF, nên EF vuông góc EQ.