Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số P = x^2 + y^2 - 4x + y + 7.

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số. Điểm cực đại của hàm số xảy ra khi đạo hàm riêng theo x và y bằng 0.

Đạo hàm riêng theo x:
∂P/∂x = 2x - 4

Đạo hàm riêng theo y:
∂P/∂y = 2y + 1

Để đạo hàm riêng theo x và y bằng 0, ta giải hệ phương trình sau:
2x - 4 = 0
2y + 1 = 0

Từ đó, ta tìm được x = 2 và y = -1.

Để xác định xem điểm (2, -1) là điểm cực đại hay không, ta cần kiểm tra đạo hàm riêng thứ hai.

Đạo hàm riêng thứ hai theo x:
∂^2P/∂x^2 = 2

Đạo hàm riêng thứ hai theo y:
∂^2P/∂y^2 = 2

Vì đạo hàm riêng thứ hai theo x và y đều dương, nên điểm (2, -1) là điểm cực đại.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số P là:
P = (2)^2 + (-1)^2 - 4(2) + (-1) + 7 = 4 + 1 - 8 - 1 + 7 = 4.