Gọi O là tâm của đường tròn cố định.
Ta cần chứng minh rằng O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Vì CN = 2BM, ta có: CN/CA = 2BM/AB => CN/CA = BM/(1-BM) => CN/(CN+NA) = BM/(AB-BM)
Áp dụng tính chất tứ giác điều hòa trong tứ giác ABCN, ta có: (CB, CA; CM, CN) = -1
Tương tự áp dụng tính chất tứ giác điều hòa trong tứ giác ABMN, ta có: (AB, AM; AN, AO) = -1 Vì (CB, CA; CM, CN) = (AB, AM; AN, AO), suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Do O là một điểm cố định và không phụ thuộc vào vị trí của M và N.
Vậy ta đã chứng minh được rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn nằm trên một đường tròn cố định.