a) Ta có:
- Góc ABC = 90 độ (vuông tại A)
- Góc BHA = 90 độ (đường cao)
- Góc BAH = 90 độ (vuông góc với AB)
Vậy tam giác ABC và tam giác HBA có 2 góc vuông và góc giữa chúng BAH bằng nhau, nên tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA.

b) Ta có:
- AB = 3 cm
- BH = 1,8 cm
Theo định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 3^2 + BC^2
AC^2 = 9 + BC^2

AH^2 = AB^2 - BH^2
AH^2 = 3^2 - 1,8^2
AH^2 = 9 - 3.24
AH^2 = 9 - 5,76
AH^2 = 3,24

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao, nên AH^2 = AC^2 - CH^2
3,24 = AC^2 - 1,8^2
3,24 = AC^2 - 3,24
AC^2 = 3,24 + 3,24
AC^2 = 6,48
AC = √6,48

Từ AC^2 = 9 + BC^2, ta có:
6,48 = 9 + BC^2
BC^2 = 6,48 - 9
BC^2 = -2,52
Vì BC là độ dài, nên BC không thể là một số âm. Vậy không tồn tại giá trị của BC và AC thỏa mãn điều kiện.

c) Ta có:
- AB vuông góc BM tại D
- BD là đường cao của tam giác ABM
- BH là đường cao của tam giác ABC
Theo định lý đường cao trong tam giác, ta có:
BD.BM = BH.BC

d) Để HD // AB, ta cần tìm vị trí của M trên cạnh AC sao cho tam giác ABC và tam giác HDA đồng dạng.
Ta có:
- Góc ABC = 90 độ (vuông tại A)
- Góc HDA = 90 độ (vuông tại D)
- Góc BAH = Góc HDA (do tam giác ABC và tam giác HDA đồng dạng)
Vậy để HD // AB, ta cần tìm vị trí của M trên cạnh AC sao cho góc BAH = góc HDA.