a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với BC = 10cm và IC = 6,4cm.
Theo định lý Pythagoras, ta có: AB² + AC² = BC²
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC²
=> AB² + AC² = 10²
=> AB² + AC² = 100
=> AB² + (AB + BC)² = 100
=> AB² + (AB + 10)² = 100
=> AB² + AB² + 20AB + 100 = 100
=> 2AB² + 20AB = 0
=> AB(2AB + 20) = 0
=> AB = 0 (loại) hoặc AB = -10 (loại) hoặc AB = -10/2 = -5 (loại) hoặc AB = 0/2 = 0 (loại)
Vậy AB = 0 (loại) hoặc AB = 5cm.
Vì AB < AC nên AB = 5cm.
Từ đó, ta tính được AC = BC - AB = 10 - 5 = 5cm.
Độ dài cạnh AC là 5cm và độ dài đường cao AI là 6,4cm.

b) Ta có trung điểm E của cạnh AC.
Kẻ EF vuông góc BC tại F.
Diện tích tứ giác ABFE là diện tích tam giác AEF.
Diện tích tam giác AEF = (EF * AI) / 2
Với EF = BC / 2 = 10 / 2 = 5cm và AI = 6,4cm.
Diện tích tam giác AEF = (5 * 6,4) / 2 = 16cm².

c) AF và BE cắt nhau tại O.
Kẻ AH vuông góc BE và FK vuông góc BE (H, K thuộc BE).
Góc AOB là góc giữa hai đường thẳng AF và BE.
Vì AF và BE là hai đường chéo của tứ giác ABFE nên góc AOB là góc giữa hai đường chéo của tứ giác ABFE.
Theo công thức, sin góc AOB = (2 * diện tích tam giác AOB) / (AB * AE)
Với diện tích tam giác AOB = diện tích tứ giác ABFE = 16cm², AB = 5cm và AE = AC = 5cm.
sin góc AOB = (2 * 16) / (5 * 5) = 32 / 25.