a. Để xác định loại tam giác MNP, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras. Nếu tổng bình phương của hai cạnh nhỏ nhất bằng bình phương cạnh lớn nhất, tam giác MNP là tam giác vuông. Nếu tổng bình phương của hai cạnh nhỏ nhất lớn hơn bình phương cạnh lớn nhất, tam giác MNP là tam giác tù. Nếu tổng bình phương của hai cạnh nhỏ nhất nhỏ hơn bình phương cạnh lớn nhất, tam giác MNP là tam giác nhọn.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
MN^2 + NP^2 = MP^2
9^2 + 12^2 = 15^2
81 + 144 = 225
225 = 225

Vì tổng bình phương của hai cạnh nhỏ nhất bằng bình phương cạnh lớn nhất, nên tam giác MNP là tam giác vuông.

b. Đường cao NH của tam giác MNP là đoạn thẳng kết nối đỉnh N với đường thẳng chứa cạnh MP và vuông góc với MP. Để tính độ dài đường cao NH, ta có thể sử dụng công thức sau:

Đường cao NH = (2 * Diện tích tam giác MNP) / MP

Diện tích tam giác MNP = (1/2) * MN * NP = (1/2) * 9 * 12 = 54 cm^2

Đường cao NH = (2 * 54) / 15 = 3.6 cm

Vậy độ dài đường cao NH của tam giác MNP là 3.6 cm.