a) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Vì tam giác vuông nên ta có:
- AH là đường cao nên AH là cạnh huyền của tam giác vuông ABC. Ta có: AH = √(HB^2 + HC^2) = √(4^2 + 9^2) = √(16 + 81) = √97 cm.
- AB là cạnh góc vuông, ta có: AB = HB = 4 cm.
- AC là cạnh còn lại, ta có: AC = HC = 9 cm.
- Góc ABC là góc vuông, có giá trị là 90°.

Vậy kết quả là:
AH = √97 cm
AB = 4 cm
AC = 9 cm
Góc ABC = 90°

b) Gọi E là hình chiếu của H trên AB, F là hình chiếu của H trên AC.
Ta cần chứng minh AH = EF và AE.AB + AF.AC = 2EF^2.

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- AE = AB - BE = AB - HC = 4 - 9 = -5 cm (vì E nằm ngoài đoạn AB).
- AF = AC - CF = AC - HB = 9 - 4 = 5 cm (vì F nằm ngoài đoạn AC).

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- EF là đường cao của tam giác vuông AEF, nên EF = AH = √97 cm.

Ta có:
AE.AB + AF.AC = (-5 cm)(4 cm) + (5 cm)(9 cm) = -20 cm^2 + 45 cm^2 = 25 cm^2.

Và:
2EF^2 = 2(√97 cm)^2 = 2(97 cm) = 194 cm^2.

Vậy ta có:
AE.AB + AF.AC = 2EF^2.

c) Vẽ FK vuông góc với BC tại K.
Ta cần chứng minh KF = HC/tan(AHF) + cot(ACB).

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- AHF là góc vuông, nên tan(AHF) = 0 và cot(ACB) = ∞.

Vậy ta có:
KF = HC/tan(AHF) + cot(ACB) = HC/0 + ∞ = ∞.

Vậy KF = ∞.