Cho 2 số hữu tỉ a/b và c/d ( b,d > 0 )

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng tính chất của phép cộng và phép nhân trên số hữu tỉ.

Giả sử a/b < c/d. Ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng a/b - c/d < 0.

Ta sẽ chứng minh a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Bước 1: Chứng minh a/b < (a+c)/(b+d).

Ta sẽ chứng minh (a+c)/(b+d) - a/b > 0.

(a+c)/(b+d) - a/b = (a(b+d) - (a+c)b)/(b(b+d)) = (ab + ad - ab - cb)/(b(b+d)) = (ad - cb)/(b(b+d)).

Vì a/b < c/d, nên ad - cb < 0. Do đó, (ad - cb)/(b(b+d)) < 0.

Vậy ta đã chứng minh được a/b < (a+c)/(b+d).

Bước 2: Chứng minh (a+c)/(b+d) < c/d.

Ta sẽ chứng minh c/d - (a+c)/(b+d) > 0.

c/d - (a+c)/(b+d) = (cb + cd - ad - cd)/(d(b+d)) = (cb - ad)/(d(b+d)).

Vì a/b < c/d, nên cb - ad < 0. Do đó, (cb - ad)/(d(b+d)) < 0.

Vậy ta đã chứng minh được (a+c)/(b+d) < c/d.

Từ đó, ta có a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.