Để chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh rằng góc MNO là góc vuông.

Gọi I là giao điểm của Ax và By. Ta có:
- Góc AIB là góc vuông (do Ax và By là tiếp tuyến của nửa đường tròn).
- Góc AIO là góc vuông (do Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn).
- Góc BNI là góc vuông (do By là tiếp tuyến của nửa đường tròn).

Vì AM.BN = R^2, nên ta có:
- Diện tích tam giác AMI = 1/2 * AM * AI = 1/2 * R^2.
- Diện tích tam giác BNI = 1/2 * BN * BI = 1/2 * R^2.

Do đó, diện tích tam giác AMI = diện tích tam giác BNI.

Vậy, ta có AMI = BNI.

Từ đó, ta có góc MNI = góc AIB - góc AIN - góc BNI = 90° - góc AIN - 90° = -góc AIN.

Vì góc AIN là góc tạo bởi tia Ax và tia Oy, nên góc MNI = góc tạo bởi tia Ax và tia Oy.

Vậy, MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).