a) Ta có:
- Gọi O là tâm của tam giác ABC.
- Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao, do đó O nằm trên đường trung tuyến AH.
- Ta có AM = MC (do M nằm trên cạnh BC), nên đường trung tuyến AH cắt cạnh BC tại trung điểm N của BC.
- Khi đó, ta có AN = NB = NC, suy ra tam giác ANC cân tại N.
- Vì tam giác ANC cân tại N, nên đường trung tuyến AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC tại điểm O.
- Ta có ∠AON = 90° (do O nằm trên đường trung tuyến AH), nên O nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC.
- Vì ∠AMP = ∠ANP = 90° (do P là hình chiếu vuông góc của M lên AB), nên M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP.
- Tương tự, ∠AMQ = ∠AMQ = 90°, nên M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMQ.
- Vậy, ta có tứ giác AMPQ nội tiếp đường tròn và tâm đường tròn là O.

b) Ta có:
- Vì tam giác ABC đều, nên ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
- Vì tam giác ABC đều, nên AH là đường cao, do đó ∠AHB = ∠AHC = 90°.
- Vì tam giác AMPQ nội tiếp đường tròn, nên ∠APM = ∠AQM = 90°.
- Vậy, ta có ∠APQ = ∠APM + ∠MQP = 90° + 90° = 180° - ∠A = ∠B + ∠C = ∠BAC.
- Vì tam giác ABC đều, nên ∠BAC = 60°.
- Vậy, ta có ∠APQ = ∠BAC.
- Do đó, 5 điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên 1 đường tròn.