Để chứng minh bất đẳng thức Ixi + Ix - 2I + Ix - 4I ≥ 4 đúng với mọi số thực x, ta sẽ chứng minh từng thành phần của bất đẳng thức này.

1. Chứng minh Ixi ≥ 0 với mọi số thực x:
Vì Ixi là giá trị tuyệt đối của x, và giá trị tuyệt đối của một số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên ta có Ixi ≥ 0.

2. Chứng minh Ix - 2I ≥ 0 với mọi số thực x:
Ta có Ix - 2I = I(x - 2)I. Với mọi số thực x, ta có x - 2 ≥ 0 khi và chỉ khi x ≥ 2. Vì vậy, khi x ≥ 2, ta có Ix - 2I = x - 2 ≥ 0. Khi x < 2, ta có x - 2 < 0, nhưng vì giá trị tuyệt đối luôn không âm, nên ta vẫn có Ix - 2I = -(x - 2) = 2 - x ≥ 0. Vậy, ta có Ix - 2I ≥ 0 với mọi số thực x.

3. Chứng minh Ix - 4I ≥ 0 với mọi số thực x:
Tương tự như trên, ta có Ix - 4I = I(x - 4)I. Với mọi số thực x, ta có x - 4 ≥ 0 khi và chỉ khi x ≥ 4. Vì vậy, khi x ≥ 4, ta có Ix - 4I = x - 4 ≥ 0. Khi x < 4, ta có x - 4 < 0, nhưng vì giá trị tuyệt đối luôn không âm, nên ta vẫn có Ix - 4I = -(x - 4) = 4 - x ≥ 0. Vậy, ta có Ix - 4I ≥ 0 với mọi số thực x.

Từ các chứng minh trên, ta có Ixi + Ix - 2I + Ix - 4I ≥ 0 + 0 + 0 = 0. Vậy, bất đẳng thức Ixi + Ix - 2I + Ix - 4I ≥ 4 đúng với mọi số thực x.