Cho tam giác ABC vuông cân tại AM là trung điểm của BC, điểm I nằm giữa M và C

Để chứng minh a) BH = AK, ta sẽ sử dụng định lí đối xứng.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AM = MC.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

Vậy, ta có AM = MC = BM.

Khi đó, ta có tam giác ABM là tam giác đều.

Vì BH vuông góc với AI và AM = BM, nên BH cũng vuông góc với BM.

Do đó, tam giác ABH cũng là tam giác vuông cân.

Vậy, ta có AB = BH.

Tương tự, ta có tam giác AKC là tam giác vuông cân và AK = KC.

Vậy, ta có AB = BH = AK = KC.

Do đó, ta có BH = AK.

Để chứng minh b) góc AMH = góc CMK, ta sẽ sử dụng định lí cùng cực.

Vì tam giác ABM là tam giác đều, nên góc ABM = 60 độ.

Vì BH vuông góc với AI, nên góc ABH = 90 độ - góc BAI.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAI = góc BAC/2 = 45 độ.

Vậy, góc ABH = 90 độ - 45 độ = 45 độ.

Tương tự, ta có góc AKC = 45 độ.

Vì AK = KC, nên tam giác AKC là tam giác cân.

Vậy, góc AKC = góc KAC = (180 độ - góc AKC)/2 = (180 độ - 45 độ)/2 = 67.5 độ.

Vì góc ABH = 45 độ và góc AKC = 67.5 độ, nên góc AMH = góc CMK = (180 độ - góc ABH - góc AKC)/2 = (180 độ - 45 độ - 67.5 độ)/2 = 67.5 độ.

Vậy, ta có góc AMH = góc CMK.