Để giải phương trình

\[
\frac{1}{1 \times 6} + \frac{1}{6 \times 11} + \ldots + \frac{1}{(5x+1)(5x+6)} = \frac{10}{51},
\]

ta cần tìm tổng của chuỗi bên trái.

Chú ý rằng, \( \frac{1}{n(n+5)} \) có thể phân tích thành phân số riêng như sau:

\[
\frac{1}{n(n+5)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+5}.
\]

Giải phương trình:

\[
1 = A(n+5) + Bn.
\]

Xét \( n=0 \):

\[
1 = 5A \implies A = \frac{1}{5}.
\]

Xét \( n=-5 \):

\[
1 = -5B \implies B = -\frac{1}{5}.
\]

Vậy

\[
\frac{1}{n(n+5)} = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+5}\right).
\]

Áp dụng kết quả trên:

\[
\sum_{n=1}^{5x} \frac{1}{n(n+5)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{5x} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+5}\right).
\]

Khi tính tổng này, chúng ta sẽ thấy rằng nhiều thành phần sẽ bị triệt tiêu:

\[
\sum_{n=1}^{5x} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+5}\right) = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{5x}\right) - \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{5x+5}\right).
\]

Các phần tử từ \(\frac{1}{6}\) đến \(\frac{1}{5x+5}\) sẽ triệt tiêu. Kết quả cuối cùng là:

\[
\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n}.
\]

Tính ra:

\[
\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{60 + 30 + 20 + 15 + 12}{60} = \frac{137}{60}.
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
\frac{1}{5} \left(\frac{137}{60}\right) = \frac{137}{300}.
\]

Và theo đề bài, tổng này bằng \( \frac{10}{51} \). Do đó, chúng ta có phương trình sau:

\[
\frac{137}{300} = \frac{10}{51}.
\]

Chúng ta nhận thấy rằng cả hai phần mà trên là sai, bởi vì không có \(x\) trong phương trình và không khớp với điều kiện đã cho. Có thể bạn cần làm rõ hơn về điều cần tính cho đúng.

Nếu chỉ có một phương trình liên quan đến \(x\), hãy cho biết lại để xem xét giải pháp chính xác hơn đến đâu.