Để tính diện tích tam giác ABC, ta cần biết độ dài các cạnh của tam giác. Ta sẽ tính độ dài các cạnh BC, AM và AK.

Vì BM = 1/3 BC, ta có BC = 3BM.
Vì AK = 2/3 AM, ta có AM = 3/2 AK.

Gọi x là độ dài BM. Khi đó, BC = 3x.
Vì BM = 1/3 BC, ta có x = 1/3 * 3x = x.
Vậy, BM = x.

Gọi y là độ dài AM. Khi đó, AK = 2/3 AM = 2/3 y.
Vì AM = 3/2 AK, ta có y = 3/2 * 2/3 y = y.
Vậy, AM = y.

Do tam giác ABC là tam giác đều, ta có AM = BM = CM = y.

Gọi S là diện tích tam giác ABC. Ta có:
S = SABK + SAKC + SABC.

Vì SABK = 30 cm², ta có:
SABK = 1/2 * AK * BM * sin(∠BAK) = 1/2 * (2/3 y) * x * sin(30°) = 1/2 * (2/3 y) * x * 1/2 = 1/6 yx.

Vì SAKC = 1/2 * AK * CM * sin(∠CAK) = 1/2 * (2/3 y) * y * sin(60°) = 1/2 * (2/3 y) * y * √3/2 = √3/12 y².

Vì SABC = 1/2 * BC * AM * sin(∠BAC) = 1/2 * (3x) * y * sin(60°) = 1/2 * (3x) * y * √3/2 = √3/4 xy.

Vậy, S = SABK + SAKC + SABC = 1/6 yx + √3/12 y² + √3/4 xy.

Ta đã biết rằng SABK = 30 cm², nên ta có:
30 = 1/6 yx + √3/12 y² + √3/4 xy.

Từ đây, ta có thể giải phương trình này để tìm giá trị của x và y, sau đó tính diện tích S.