Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AB=BD

Để vẽ hình, ta có tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AB=BD.

a) Ta có AB=BD, suy ra tam giác ABD là tam giác cân tại A. Vì BM là đường phân giác của tam giác ABC, nên BM cắt AD tại M và góc BAM = góc MAD.

Do đó, tam giác ABM = tam giác ADM (cùng có góc BAM = góc MAD).

Ta cần chứng minh MD vuông góc với BC. Ta có:

Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó, AI là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại I.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AI là đường cao, suy ra góc BAI = 90°.

Mà góc BAM = góc MAD, nên góc BAI = góc MAD.

Vậy, góc MAD = 90° - góc BAI = 90° - góc BAM.

Do đó, MD vuông góc với BC.

b) Gọi E là giao điểm của DM và AB.

Ta cần chứng minh ME = MC.

Vì tam giác ABD là tam giác cân tại A, nên góc BDA = góc BAD.

Mà góc BAM = góc MAD, nên góc BDA = góc MAD.

Vậy, góc MAD = góc BDA = góc MDE.

Do đó, tam giác MDE cân tại M.

Mà MD vuông góc với BC, nên góc MDE = 90°.

Vậy, tam giác MDE là tam giác cân và vuông tại M.

Do đó, ME = MC.

c) Ta đã chứng minh được ME = MC và tam giác MDE là tam giác cân và vuông tại M.

Vậy, tứ giác ADCE là hình thang cân.