a, Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC = BD + DC = 4 + 9 = 13
Vậy AB^2 + AC^2 = 13^2
Ta cũng biết rằng AD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AC^2 = AD^2 + DC^2
Thay BD = 4 và DC = 9 vào, ta có:
AB^2 = AD^2 + 4^2
AC^2 = AD^2 + 9^2
Từ đó suy ra:
AD^2 + 16 + AD^2 + 81 = 13^2
2AD^2 + 97 = 169
2AD^2 = 72
AD^2 = 36
Vậy AD = 6
Thay AD = 6 vào, ta có:
AB^2 = 6^2 + 4^2 = 52
AC^2 = 6^2 + 9^2 = 117
Vậy AB = √52 và AC = √117

b, Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý đường phân giác trong, ta có:
BE/EC = BA/AC
Vậy BE/EC = AB/AC
Thay AB = √52 và AC = √117 vào, ta có:
BE/EC = √52/√117
BE/EC = √(52/117)
BE/EC = √(4/9)
BE/EC = 2/3
Vậy BE = 2EC/3
Từ đó suy ra:
BD/DC = BE/EC
4/9 = 2EC/3EC
4/9 = 2/3
Vậy phương trình đúng.

c, Ta có tam giác ABC vuông tại A và tam giác BDE vuông tại B, nên theo định lý đường cao, ta có:
BK/KE = BD/DE
Thay BD = 4 và DE = 13 vào, ta có:
BK/KE = 4/13
Vậy tam giác BKC đồng dạng với tam giác BDE.