Để tính diện tích tứ giác AEHF, ta cần tìm độ dài các cạnh của nó.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH chính là đường trung bình của tam giác vuông ABC. Do đó, ta có:
AH = 1/2 * BC = 1/2 * 5 = 2.5 cm.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có AM = 1/2 * AC = 1/2 * 4 = 2 cm.

Gọi x là độ dài của cạnh EF. Ta có:
EM = FM = 1/2 * AH = 1/2 * 2.5 = 1.25 cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AEM, ta có:
AE^2 = AM^2 + EM^2
AE^2 = 2^2 + 1.25^2
AE^2 = 4 + 1.5625
AE^2 = 5.5625
AE = √5.5625
AE ≈ 2.36 cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AFM, ta có:
AF^2 = AM^2 + FM^2
AF^2 = 2^2 + 1.25^2
AF^2 = 4 + 1.5625
AF^2 = 5.5625
AF = √5.5625
AF ≈ 2.36 cm.

Vậy cạnh EF có độ dài x = AE + AF ≈ 2.36 + 2.36 = 4.72 cm.

Diện tích tứ giác AEHF là diện tích hình chữ nhật có chiều dài x và chiều rộng AH:
Diện tích AEHF = x * AH = 4.72 * 2.5 = 11.8 cm^2.

Vậy diện tích tứ giác AEHF là 11.8 cm^2.