Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC và công thức Sine để tính các cạnh của tam giác ABC.

Công thức Heron cho biết diện tích S của tam giác ABC có thể tính bằng công thức:
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))
Trong đó, p là nửa chu vi của tam giác ABC và a, b, c là độ dài các cạnh tương ứng.

Công thức Sine cho biết:
a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C = 2R
Trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có thể suy ra các công thức sau:
cot A = (cos A) / (sin A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
cot B = (cos B) / (sin B) = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ca)
cot C = (cos C) / (sin C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Ta cần chứng minh rằng:
cot A + cot B + cot C = (AB^2 + BC^2 + AC^2) / (4S)

Bằng cách thay các công thức trên vào, ta có:
cot A + cot B + cot C = [(b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)] + [(c^2 + a^2 - b^2) / (2ca)] + [(a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)]
= (a^2 + b^2 + c^2) / (2ab) + (a^2 + b^2 + c^2) / (2bc) + (a^2 + b^2 + c^2) / (2ca)
= (a^2 + b^2 + c^2) * (1/2ab + 1/2bc + 1/2ca)
= (a^2 + b^2 + c^2) * (ab + bc + ca) / (2abc)

Từ công thức Sine, ta có:
ab + bc + ca = 2R(a + b + c) = 4Rp

Thay vào công thức trên, ta có:
cot A + cot B + cot C = (a^2 + b^2 + c^2) * (4Rp) / (2abc)
= 2Rp(a^2 + b^2 + c^2) / (abc)

Từ công thức Heron, ta có:
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))
= √(p(p^3 - (a + b + c)p^2 + (ab + bc + ca)p - abc))
= √(p^4 - (a + b + c)p^3 + (ab + bc + ca)p^2 - abcp)

Vì S = (abc) / (4R), nên ta có:
4RS = abc

Thay vào công thức trên, ta có:
cot A + cot B + cot C = 2Rp(a^2 + b^2 + c^2) / (abc)
= 2Rp(a^2 + b^2 + c^2) / (4RS)
= (a^2 + b^2 + c^2) / (2S)

Và ta đã chứng minh được rằng:
cot A + cot B + cot C = (AB^2 + BC^2 + AC^2) / (4S)