a) Ta có:
$\angle ADB = \angle AEB = 90^{\circ}$ (do $AD$ và $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle AHB = \angle ADB = 90^{\circ}$ (do $AD$ và $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\Rightarrow ADBH$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \angle CHD = \angle AHB = 90^{\circ}$ (do $AD$ và $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\Rightarrow C, D, H$ thẳng hàng.
Tương tự, ta có $\angle CHE = \angle ADB = 90^{\circ}$ và $\angle CDE = \angle AHB = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow C, E, H$ thẳng hàng.
Do đó, $C, D, H, E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
$\angle CHD = \angle AHB = 90^{\circ}$ (do $AD$ và $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle CAB = \angle CEB$ (cùng nằm trên cung $AB$)
$\Rightarrow \angle CHA = \angle CHD + \angle DHA = 90^{\circ} + \angle DHA = 90^{\circ} + \angle EHB = \angle CEB + \angle EHB = \angle CEH$
$\Rightarrow CH \perp AB$.

c) Ta có:
$\angle AHB = 90^{\circ}$ (do $AD$ và $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle AEB = 90^{\circ}$ (do $AD$ và $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\Rightarrow ADBH$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \angle AHD = \angle ABD = \angle ABE = \angle AHE$
$\Rightarrow AH.AE + BH.BD = AH.(AH + HE) + BH.(BH + HD) = AH^2 + AH.HE + BH^2 + BH.HD = AB^2 + AH.HE + BH.HD$
$\Rightarrow AH.AE + BH.BD = AB^2$.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).