Cho x,y,z là các số thực dương

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương x, y, z, ta có:
3x + z/y + z ≥ 3√[3x(z/y)(z)] = 3√(3xz²/y)

4y + z/x + x ≥ 3√[4y(z/x)(x)] = 3√(4yz/x)

3z + x/x + y ≥ 3√[3z(x/x)(y)] = 3√(3zy)

Tổng cộng các bất đẳng thức trên, ta có:
3x + z/y + z + 4y + z/x + x + 3z + x/x + y ≥ 3√(3xz²/y) + 3√(4yz/x) + 3√(3zy)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3√(3xz²/y), 3√(4yz/x), 3√(3zy), ta có:
3√(3xz²/y) + 3√(4yz/x) + 3√(3zy) ≥ 3(3√[(3xz²/y)(4yz/x)(3zy)])^(1/3) = 3(3√(36z^4))^(1/3) = 3(3z^(4/3))^(1/3) = 3(3z^(4/9)) = 3z^(4/9 + 1) = 3z^(13/9)

Vậy, ta có:
3x + z/y + z + 4y + z/x + x + 3z + x/x + y ≥ 3z^(13/9)

Để chứng minh bất đẳng thức 3z^(13/9) ≥ 6, ta cần chứng minh z^(13/9) ≥ 2.

Ta có: z^(13/9) ≥ 2 ⇔ z ≥ 2^(9/13).

Vì z là số thực dương, nên z ≥ 2^(9/13) > 0.

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu:
3x + z/y + z + 4y + z/x + x + 3z + x/x + y ≥ 3z^(13/9) ≥ 6.

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.