Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 4sin x . cos x + 1, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số này.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số:
y' = (4cos x . cos x - 4sin x . sin x) + 0 = 4cos^2 x - 4sin^2 x

Tiếp theo, ta giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị:
4cos^2 x - 4sin^2 x = 0
cos^2 x - sin^2 x = 0
(cos x + sin x)(cos x - sin x) = 0

Vậy, ta có hai trường hợp:
1. cos x + sin x = 0
2. cos x - sin x = 0

1. Giải phương trình cos x + sin x = 0:
cos x = -sin x
cos x / sin x = -1
tan x = -1
x = -π/4 + kπ, với k là số nguyên

2. Giải phương trình cos x - sin x = 0:
cos x = sin x
cos x / sin x = 1
tan x = 1
x = π/4 + kπ, với k là số nguyên

Tiếp theo, ta xét giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của miền xét.

Khi x = -π/4 + kπ:
y = 4sin(-π/4 + kπ) . cos(-π/4 + kπ) + 1
= 4(-1/sqrt(2)) . (1/sqrt(2)) + 1
= -2 + 1
= -1

Khi x = π/4 + kπ:
y = 4sin(π/4 + kπ) . cos(π/4 + kπ) + 1
= 4(1/sqrt(2)) . (1/sqrt(2)) + 1
= 2 + 1
= 3

Ta thấy rằng hàm số không có giới hạn trên miền xét, vì vậy không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tuy nhiên, ta có thể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một khoảng xác định.

Ví dụ, nếu ta xét miền x từ -π/4 đến π/4, ta có:
M = 3 (giá trị lớn nhất)
m = -1 (giá trị nhỏ nhất)

Vậy, M + m = 3 + (-1) = 2.