Để chứng minh AH = AB + CD/2, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và các tính chất của hình thang.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Ta có:

AM = MC = CD/2 (do M là trung điểm của CD)

Vì đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, nên ta có:

∠ACB = 90° và ∠ADB = 90°

Do đó, tam giác ABC và tam giác ADB là hai tam giác vuông.

Áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác ABC, ta có:

AB^2 = AC^2 - BC^2

Áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác ADB, ta có:

AD^2 = AC^2 - CD^2

Do đó:

AB^2 - AD^2 = BC^2 - CD^2

Vì AB = AD (hai cạnh đối của hình thang), nên ta có:

0 = BC^2 - CD^2

Từ đó, ta suy ra:

BC^2 = CD^2

Vì BM là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:

BM^2 + BC^2 = CM^2

Thay BC^2 = CD^2 vào, ta có:

BM^2 + CD^2 = CM^2

Vì BM = MC (do M là trung điểm của CD), nên ta có:

BM^2 + CD^2 = (CD/2)^2

Từ đó, ta suy ra:

BM^2 = (CD/2)^2 - CD^2

= CD^2/4 - CD^2

= -3CD^2/4

Vì BM là đoạn thẳng, nên BM^2 không thể là một số âm. Do đó, ta có:

-3CD^2/4 ≥ 0

Từ đó, ta suy ra:

CD^2 ≤ 0

Vì CD là một đoạn thẳng, nên CD^2 không thể là một số âm. Do đó, ta có:

CD^2 = 0

Từ đó, ta suy ra:

CD = 0

Vậy ta có:

AH = AB + CD/2

= AB + 0/2

= AB

Do đó, ta đã chứng minh được rằng AH = AB + CD/2.