Cho tam giác nhọn ABC các đường cao

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí về đường cao trong tam giác.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng đường cao AD cắt đường cao BE tại trung điểm M của cạnh BC.

Gọi H là giao điểm của đường cao AD và BE. Ta có:

AH ⊥ BC và BH ⊥ AC
⇒ ∠AHB = 90°
⇒ H nằm trên đường cao CF
⇒ H = F
⇒ H là trung điểm của CF
⇒ M là trung điểm của BC (do M là trung điểm của AH và BH)

Tương tự, ta có đường cao AD cắt đường cao CF tại trung điểm N của cạnh AC và đường cao BE cắt đường cao CF tại trung điểm P của cạnh AB.

Vậy ta có: M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC và P là trung điểm của AB.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng đường cao AD cắt đường cao HJ tại trung điểm I của cạnh AB.

Gọi I là giao điểm của đường cao AD và HJ. Ta có:

AH ⊥ BC và HJ ⊥ AB
⇒ ∠AHI = 90°
⇒ I nằm trên đường cao CF
⇒ I = F
⇒ I là trung điểm của CF

Tương tự, ta có đường cao BE cắt đường cao HJ tại trung điểm K của cạnh AB và đường cao CF cắt đường cao HJ tại trung điểm J của cạnh AB.

Vậy ta có: I là trung điểm của AB, J là trung điểm của AB và K là trung điểm của AB.

Cuối cùng, ta sẽ chứng minh rằng các đường IM, PK và NJ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi X là giao điểm của đường IM và PK. Ta có:

M là trung điểm của BC và P là trung điểm của AB
⇒ XM || AC và XP || BC
⇒ ∠XMP = ∠BAC (cùng phía với AC)
⇒ ∠XMP = ∠ABC (cùng phía với BC)
⇒ ∠XMP = ∠ABC + ∠BAC = 180° - ∠ACB (tổng các góc trong tam giác ABC)
⇒ ∠XMP = 180° - ∠ACB
⇒ ∠XMP = ∠ACB (cùng phía với AB)
⇒ X nằm trên đường cao HJ
⇒ X = J
⇒ X là trung điểm của HJ

Tương tự, ta có đường IM cắt đường NJ tại trung điểm của mỗi đường và đường PK cắt đường NJ tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy ta đã chứng minh được rằng IM, PK và NJ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.