Để chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thoả mãn phương trình 19^x + 5^y + 1980^z = 1975^430 + 2004, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử tồn tại các số tự nhiên x, y, z thoả mãn phương trình trên. Ta có:

19^x + 5^y + 1980^z = 1975^430 + 2004

Vì 1980 = 19 * 5 * 2^3, ta có thể viết lại phương trình trên thành:

19^x + 5^y + (19 * 5 * 2^3)^z = 1975^430 + 2004

Simplifying the equation, we have:

19^x + 5^y + 19^z * 5^z * 2^(3z) = 1975^430 + 2004

Vì 1975 = 19 * 5 * 5 * 5 * 5, ta có thể viết lại phương trình trên thành:

19^x + 5^y + 19^z * 5^z * 2^(3z) = (19 * 5 * 5 * 5 * 5)^430 + 2004

Simplifying the equation, we have:

19^x + 5^y + 19^z * 5^z * 2^(3z) = 19^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 + 2004

Vì 2004 = 19 * 5 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3, ta có thể viết lại phương trình trên thành:

19^x + 5^y + 19^z * 5^z * 2^(3z) = 19^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 + 19 * 5 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3

Simplifying the equation, we have:

19^x + 5^y + 19^z * 5^z * 2^(3z) = 19^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 + 19 * 5 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3

Vì 19^x, 5^y, và 19^z * 5^z * 2^(3z) đều là các số tự nhiên, ta có thể sử dụng tính chất của phép cộng để so sánh các giá trị. Tuy nhiên, từ phương trình trên, ta thấy rằng giá trị của 19^x, 5^y, và 19^z * 5^z * 2^(3z) đều nhỏ hơn giá trị của 19^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 * 5^430 + 19 * 5 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3. Do đó, không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thoả mãn phương trình ban đầu.

Vậy, ta đã chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thoả mãn phương trình 19^x + 5^y + 1980^z = 1975^430 + 2004.