Để tính diện tích toàn phần lớn nhất của hình hộp chữ nhật, ta cần tìm các kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b và c.

Theo đề bài, độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng d, ta có:

d^2 = a^2 + b^2 + c^2 (1)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:

S = 2(ab + ac + bc) (2)

Để tìm diện tích toàn phần lớn nhất, ta cần tối đa hóa S. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của S.

Để thuận tiện, ta sẽ giải quyết bài toán bằng cách sử dụng phương pháp đạo hàm riêng.

Đạo hàm riêng của S theo a:

dS/da = 2(b + c)

Đạo hàm riêng của S theo b:

dS/db = 2(a + c)

Đạo hàm riêng của S theo c:

dS/dc = 2(a + b)

Để tìm điểm cực trị của S, ta giải hệ phương trình:

dS/da = 0

dS/db = 0

dS/dc = 0

Từ đó, ta có:

b + c = 0

a + c = 0

a + b = 0

Từ hệ phương trình trên, ta suy ra a = b = c = 0. Tuy nhiên, điều này không thỏa mãn điều kiện độ dài đường chéo bằng d.

Vậy, không tồn tại diện tích toàn phần lớn nhất của hình hộp chữ nhật trong trường hợp này.