Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình thang tâm O, đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và SB. Tìm giao điểm K của IJ và (SAC).?

a) Để tìm giao điểm K của IJ và (SAC), ta cần xác định phương trình của đường thẳng IJ và phương trình của mặt phẳng SAC.

Phương trình đường thẳng IJ:
Vì I là trung điểm của AD, J là trung điểm của SB, nên ta có:
I = (1/2)(A + D)
J = (1/2)(S + B)

Phương trình đường thẳng IJ có thể được xác định bằng cách sử dụng phương trình đi qua hai điểm I và J:
IJ: r = I + t(J - I)

Phương trình mặt phẳng SAC:
Để xác định phương trình mặt phẳng SAC, ta cần biết ba điểm trên mặt phẳng này. Ta đã biết S, A và C, nên ta có thể sử dụng phương trình đi qua ba điểm để xác định phương trình mặt phẳng SAC.

SAC: ax + by + cz + d = 0

Sau khi xác định được phương trình của đường thẳng IJ và phương trình của mặt phẳng SAC, ta có thể giải hệ phương trình để tìm giao điểm K.

b) Để chứng minh A, K, L, M thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tứ giác AKLM là tứ giác điều hòa.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng tỉ số của các cặp cạnh đối xứng qua đường chéo của tứ giác AKLM bằng -1.

Tỉ số của cặp cạnh đối xứng qua đường chéo AK của tứ giác AKLM:
AK/AL = IK/IL (do IJ là đường chéo của tứ giác AKLM)

Tỉ số của cặp cạnh đối xứng qua đường chéo AM của tứ giác AKLM:
AM/AL = JM/JL (do JI là đường chéo của tứ giác AKLM)

Tỉ số của cặp cạnh đối xứng qua đường chéo KL của tứ giác AKLM:
AK/AM = IK/JM (do IJ là đường chéo của tứ giác AKLM)

Nếu ta chứng minh được rằng tỉ số của các cặp cạnh đối xứng qua đường chéo AK, AM, KL của tứ giác AKLM đều bằng -1, thì ta có thể kết luận rằng tứ giác AKLM là tứ giác điều hòa và A, K, L, M thẳng hàng.