Để chứng minh rằng a chia hết cho 105, ta cần chứng minh rằng a chia hết cho cả 3, 5 và 7.

1. Chứng minh a chia hết cho 3:
Ta biết rằng một số chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Trong trường hợp này, ta có:
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50) = 2 * 50 * 51 / 2 = 2550
5 + 7 + 9 + ... + 101 = 5(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50) + 1 = 5 * 50 * 51 / 2 + 1 = 1276
Tổng của hai số trên là 2550 + 1276 = 3826, và 3826 chia hết cho 3. Vì vậy, a chia hết cho 3.

2. Chứng minh a chia hết cho 5:
Ta biết rằng một số chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu chữ số cuối cùng của số đó là 0 hoặc 5. Trong trường hợp này, số cuối cùng của a là 0, vì vậy a chia hết cho 5.

3. Chứng minh a chia hết cho 7:
Ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ để chứng minh rằng a chia hết cho 7.
Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.
Trong trường hợp này, p = 7 và a không chia hết cho 7, vì vậy ta cần chứng minh rằng a^6 - 1 chia hết cho 7.
Ta có:
a^6 - 1 = (2x4x6x8..x100 + 5x7x9..x101)^6 - 1
= (2^6)(4^6)(6^6)(8^6)...(100^6) + 6C1(2^5)(4^5)(6^5)(8^5)...(100^5)(5^1)(7^1)(9^1)...(101^1) + ...
Các số trong dấu ngoặc thứ hai đều chia hết cho 7, vì vậy ta chỉ cần quan tâm đến số đầu tiên.
Ta biết rằng 2^6, 4^6, 6^6, ..., 100^6 đều chia hết cho 7, vì vậy tổng của chúng cũng chia hết cho 7.
Vậy a^6 - 1 chia hết cho 7, và do đó a chia hết cho 7.

Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng a chia hết cho cả 3, 5 và 7, vì vậy a chia hết cho 105.