Chứng minh √(1 - xy) là số hữu tỉ

Để chứng minh rằng √(1-xy) là số hữu tỉ, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử √(1-xy) không phải là số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là √(1-xy) là một số vô tỉ.

Vì x và y là các số hữu tỉ, nên x và y có thể được biểu diễn dưới dạng x = a/b và y = c/d, trong đó a, b, c, d là các số nguyên và b, d khác 0.

Theo giả thiết, ta có x⁷ + y⁷ = 2x³ + y³.

Thay x và y bằng a/b và c/d, ta có (a/b)⁷ + (c/d)⁷ = 2(a/b)³ + (c/d)³.

Simplifying the equation, we have (a⁷/b⁷) + (c⁷/d⁷) = 2(a³/b³) + (c³/d³).

Nhân cả hai phía của phương trình với b⁷d⁷, ta có a⁷d⁷ + c⁷b⁷ = 2a³d⁴b⁴ + c³b⁶d.

Chia cả hai phía của phương trình cho b⁴d⁴, ta có (a³d³/b³d³) + (c³b³/d³b³) = 2(a³d³/b³d³) + (c³b³/d³b³).

Simplifying the equation, we have (ad/bd)³ + (cb/db)³ = 2(ad/bd)³ + (cb/db)³.

Điều này đồng nghĩa với việc (ad/bd)³ = (cb/db)³.

Vì a, b, c, d là các số nguyên và b, d khác 0, nên ad/bd và cb/db cũng là các số hữu tỉ.

Do đó, ta có (ad/bd)³ = (cb/db)³ là một phép toán giữa hai số hữu tỉ.

Tuy nhiên, vì √(1-xy) là một số vô tỉ, nên không thể có một phép toán giữa √(1-xy) và (ad/bd)³ = (cb/db)³.

Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu, cho thấy giả sử √(1-xy) không phải là số hữu tỉ là sai.

Vì vậy, ta kết luận rằng √(1-xy) là số hữu tỉ.