Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học cơ bản. Dưới đây là cách giải từng câu hỏi:

a) Ta cần chứng minh tứ giác ANPM là hình thoi. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng các cạnh của tứ giác này bằng nhau.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AM = MB.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AN là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AN = NC.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AP là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AP = PC.

Vì AM = MB, AN = NC và AP = PC, nên ta có tứ giác ANPM là hình thoi.

b) Ta cần chứng minh tứ giác APBQ là hình chữ nhật. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng các góc của tứ giác này đều bằng 90 độ.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, góc AMB = 90 độ.

Vì Q là điểm đối xứng của P qua M, nên MQ = MP và góc MQP = góc MPQ.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AN là đường cao của tam giác ABC. Do đó, góc ANB = 90 độ.

Vì góc AMB = 90 độ, góc MQP = góc MPQ và góc ANB = 90 độ, nên ta có tứ giác APBQ là hình chữ nhật.

c) Ta cần chứng minh rằng các đường thẳng AP, MN và CQ đồng quy. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng các điểm A, P và C thẳng hàng.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AM song song với BC.

Vì Q là điểm đối xứng của P qua M, nên MQ = MP và MQ song song với AP.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AN là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AN vuông góc với BC.

Vì MQ song song với AP và AN vuông góc với BC, nên ta có MQ vuông góc với AN.

Vì MQ = MP, nên ta có MP vuông góc với AN.

Vì MP vuông góc với AN và AM song song với BC, nên ta có tứ giác APNC là tứ giác điều hòa.

Do đó, các đường thẳng AP, MN và CQ đồng quy.