Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + y^2 - 2xy - 6x + 2y + 2027, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức trên có dạng của một đa thức bậc hai hai biến x và y. Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

2x^2 + y^2 - 2xy - 6x + 2y + 2027 = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 6x) + (2y + 2027)

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng phần đầu tiên của biểu thức trên có thể được viết lại dưới dạng một khối vuông hoàn chỉnh:

(x^2 - 2xy + y^2) = (x - y)^2

Vậy, biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành:

(x - y)^2 + (x^2 - 6x) + (2y + 2027)

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Để làm điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng phần tử trong biểu thức.

Phần tử đầu tiên (x - y)^2 là một khối vuông hoàn chỉnh và luôn không âm, vì vậy giá trị nhỏ nhất của nó là 0.

Phần tử thứ hai (x^2 - 6x) là một đa thức bậc hai một biến x. Để tìm giá trị nhỏ nhất của nó, ta có thể sử dụng công thức hoàn thành khối vuông:

(x^2 - 6x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9

Vì (x - 3)^2 luôn không âm, nên giá trị nhỏ nhất của (x - 3)^2 - 9 là -9.

Phần tử thứ ba (2y + 2027) là một đa thức bậc nhất một biến y. Để tìm giá trị nhỏ nhất của nó, ta có thể sử dụng công thức hoàn thành khối vuông:

(2y + 2027) = (2y + 2027 + 1) - 1 = (2y + 2028) - 1

Vì (2y + 2028) là một đa thức bậc nhất một biến y, nên giá trị nhỏ nhất của nó là -∞ (âm vô cùng).

Tổng kết lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + y^2 - 2xy - 6x + 2y + 2027 là -9 - 1 = -10.