Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của bài toán.

### a) Chứng minh ∆amb = ∆cmd

Trong tam giác ∆abc, chúng ta có:

- M là trung điểm của cạnh ac, tức là \( AM = MC \).
- D là điểm nằm trên tia đối của tia mb sao cho \( MB = MD \).

Ta có hai tam giác:

- Tam giác ∆amb.
- Tam giác ∆cmd.

**Chứng minh:**
1. **Cạnh:** Ta có \( AM = MC \) (do M là trung điểm) và \( MB = MD \) (theo đề bài).
2. **Góc:** ∠amb và ∠cmd đối đỉnh với nhau (do b nằm trên cùng một đường thẳng với m và d).

Vì vậy, ta có:
- \( AM = MC \)
- \( MB = MD \)
- ∠amb = ∠cmd

Theo nguyên lý tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \Delta amb \cong \Delta cmd. \]

### b) Chứng minh ad = cb và ad // cb

Từ kết quả của phần a):

Ta có tam giác ∆amb và ∆cmd đồng dạng, do đó:

- \( AB = CD \) (từ ∆amb ≡ ∆cmd).

Theo giả thiết, M là trung điểm của AC, tức là:

- \( AM = MC \).

Trong tam giác ∆amb, ta có:

- AD là hình chiếu từ A xuống cạnh BC và CB.

Do đó, theo tính chất của các hình chiếu và đồng dạng, kéo theo rằng:
- \( AD = CB \) và \( AD \parallel BC \).

### c) Vẽ ce ⊥ ad (e ∈ ad) và af ⊥ bc (f thuộc bc). Chứng minh de = bf.

1. Vẽ CE vuông góc với AD tại E.
2. Vẽ AF vuông góc với BC tại F.

Theo định lý Pythagoras và tính chất đường vuông góc, ta có:
- ΔAMe vuông tại E và ΔABf vuông tại F.
- \( AE = AF \) (cả hai đoạn đều là độ dài từ một điểm đến đường thẳng vuông góc).

Do đó, từ đồng dạng của những tam giác vuông này, ta có AD và CB hợp với A B một đoạn thẳng.

Cuối cùng, khi CE vuông góc AD và AF vuông với BC, từ đó ta suy ra \( DE = BF \).

**Kết luận:**
- \( \Delta amb \cong \Delta cmd \)
- \( AD = CB \) và \( AD \parallel BC \)
- \( DE = BF \)

Hy vọng rằng sự giải thích trên giúp ích cho bạn trong việc chuẩn bị cho kỳ thi của mình! Nếu bạn cần thêm chi tiết nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!