Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, M lần lượt là trung điểm của SA, OC

a, Để xác định giao tuyến của các cặp (SAC) và (SBD), ta cần xác định giao điểm của các đường thẳng SA và BD, cũng như giao điểm của các đường thẳng AC và SB.

Gọi P là giao điểm của SA và BD. Ta có:
- Vì I là trung điểm của SA, nên AI = IS.
- Vì M là trung điểm của OC, nên CM = MO.

Do đó, ta có:
- Tam giác SAI là tam giác đều (vì AI = IS).
- Tam giác OCM là tam giác đều (vì CM = MO).

Vì tam giác SAI và tam giác OCM là tam giác đều, nên ta có:
- Góc SAI = 60 độ.
- Góc OCM = 60 độ.

Vì góc SAI = góc OCM = 60 độ, nên ta có:
- Góc SAC = góc SAI + góc SAC = 60 độ + 60 độ = 120 độ.
- Góc SBD = góc OCM + góc SBD = 60 độ + 60 độ = 120 độ.

Vậy, giao tuyến của các cặp (SAC) và (SBD) là đường thẳng AC.

Tương tự, ta có:
- Góc SAB = góc SAI + góc BAI = 60 độ + 60 độ = 120 độ.
- Góc SCD = góc OCM + góc DCM = 60 độ + 60 độ = 120 độ.

Vậy, giao tuyến của các cặp (SAB) và (SCD) là đường thẳng AB.

b, Để chứng minh EG // (SCD), ta cần chứng minh rằng EG và SCD là hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng SC.

Gọi N là giao điểm của EG và SCD. Ta cần chứng minh rằng N thuộc đường thẳng SC.

Vì E là trung điểm của BC, nên ta có BE = EC.

Do đó, ta có:
- Tam giác SBE là tam giác đồng dạng với tam giác SCD (theo góc).
- Tam giác SBE là tam giác đồng dạng với tam giác SNC (theo góc).

Vậy, ta có tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác SBE và SNC bằng nhau:
SB/SC = SE/SN = BE/NC.

Vì BE = EC, nên ta có SB/SC = SE/SN = 1.

Từ đó, ta suy ra SN = SC và N thuộc đường thẳng SC.

Vậy, ta có EG // (SCD).

c, Gọi K' là giao điểm của SO và mp (EMI). Ta cần tính tỉ số SK'/K'O.

Vì M là trung điểm của OC, nên ta có CM = MO.

Do đó, ta có:
- Tam giác OCM là tam giác đồng dạng với tam giác SK'O (theo góc).
- Tam giác OCM là tam giác đồng dạng với tam giác K'MI (theo góc).

Vậy, ta có tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác OCM và K'MI bằng nhau:
OC/OK' = CM/K'M = MO/MI.

Vì CM = MO, nên ta có OC/OK' = 1/MI.

Từ đó, ta suy ra OC = OK' và K' thuộc đường thẳng OC.

Vậy, ta có SK'/K'O = 1.

Vậy, tỉ số SK/KO = 1.