Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức và định lý trong hình học tam giác.

a) Để vẽ phân giác EM của tam giác DEF, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Vẽ đoạn thẳng DE có độ dài 6 cm.
- Vẽ đoạn thẳng DF có độ dài 8 cm.
- Vẽ đoạn thẳng EF có độ dài 10 cm.
- Từ điểm E, vẽ một cung có bán kính bằng 10 cm và cắt đoạn thẳng DF tại điểm M.
- Vẽ đoạn thẳng EM.

Để tính MD và MF, chúng ta sử dụng định lý phân giác tam giác:
- Định lý phân giác tam giác: Trong một tam giác ABC, phân giác của góc A chia đoạn thẳng BC thành hai đoạn có tỉ lệ bằng tỉ lệ của hai cạnh tương ứng với góc A.
- Áp dụng định lý này vào tam giác DEF, ta có:
+ MD/ME = DF/FE
+ MF/ME = DE/FE

Từ đó, ta có thể tính được MD và MF.

b) Để tính sinE trong tam giác DEK và tam giác DEF, chúng ta sử dụng công thức sinE = cạnh đối diện / cạnh huyền.

- Trong tam giác DEK, cạnh đối diện với góc E là cạnh DK và cạnh huyền là cạnh DE. Vì vậy, sinE trong tam giác DEK là DK/DE.
- Trong tam giác DEF, cạnh đối diện với góc E là cạnh EF và cạnh huyền là cạnh DE. Vì vậy, sinE trong tam giác DEF là EF/DE.

c) Để chứng minh ED:DF = DK.EF, chúng ta sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:
- Định lý đường cao trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông ABC, đường cao hạ từ đỉnh vuông góc C chia cạnh huyền AB thành hai đoạn có tích bằng tích của hai cạnh góc vuông.

Áp dụng định lý này vào tam giác DEF, ta có:
- Đường cao hạ từ đỉnh E chia cạnh DF thành hai đoạn có tích bằng tích của hai cạnh góc vuông.
- Từ đó, ta có ED:DF = DE/EF = DK.EF/EF = DK.

Vậy, ta đã chứng minh được ED:DF = DK.EF.